Question

高中必修4数学题求解

化简：1）1+sin2θ-cos2θ/1+sin2θ+cos2θ
2）sin(4/π+a)sin(4/π-a)
3）sin50°(1+√3tan10°)

求值：1）sinx+cosx=1/5，x∈[0,π]，则tanx的值是多少 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2）sin7°+cos15°sin8°/cos7°-sin15°sin8°的值是多少 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3）若a是锐角，且sin(a-π/6)-1/3，则cosa的值是多少

1）已知tana=-1/3，则1/2sinacosa+cos²a等于多少
2）△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C的大小是多少
3）0<a<π/2<β<π，sina=3/5，cos(a+β)=-4/5，则sinβ等于多少

Answer 1

1）1+sin2θ-cos2θ/1+sin2θ+cos2θ
=(1-cos2θ)+sin2θ/(1+cos2θ)+sin2θ
=2(sinθ)^2+2sinθcosθ/2(cosθ)^2+2sinθcosθ
=sinθ/cosθ
=tanθ
2）sin（a+π/4）sin(π/4-a)=
cos(π/2-a-π/4)sin(π/4-a)=
cos(π/4-a)sin(π/4-a)=
sin(π/2-2a)/2=
cos2a/2
3)sin50(1+√3tan10)
=(2sin40sin50)/cos10
=[cos(50-40)-cos(50+40)]/cos10
=cos10/cos10
=1
1)sinX+cosX=1/5 , sinX-1/5=-cosX , sin^2X-(2/5)sinX+1/25=cos^2X=1-sin^2X
2sin^2X-(2/5)sinX-24/25=0,(2sinX+6/5)(sinX-4/5) , sinX=4/5, (sinX=-3/5舍去）
cosX=-3/5 , tanX=-4/3
2)sin7°=sin(15°-8°）=sin15°cos8°-cos15°sin8°
cos7°=cos(15°-8)=cos8°cos15°+sin8°sin15°
所以，问题就简单了，把上面写的那个带进去之后
得到sin15°cos8°/cos8°cos15°=tan15°
3）cosA=cos(A-π/6+π/6)=cos(A-π/6)cosπ/6-sin(A-π/6)sinπ/6
0＜A＜π/2
-π/6＜A-π/6＜π/3
cos(A-π/6)＞0
sin(A-π/6）=1/3
cos(A-π/6）=(2√2)/3
cosA=(2√2)/3*√3/2-(1/3)*(1/2)
=√6/3-(1/6)
=[(2√6)-1]/6
1）原式＝（1/2sinacosa+cos^2 a）/(sin^2 a+cos^2 a) 上下同时除以cos^2 a得 (1/2tana+1)/(tan^2 a+1)=3/4

2）【解】两边平方
(3sinA＋4cosB)^2＝36
得9sin^2A +16cos^2B +24sinAcosB=36 ①

(4sinB＋3cosA)^2＝1
得16sin^2B +9cos^2A +24sinBcosA=1 ②

①+ ②
得：（9sin^2A +9cos^2A） +（16cos^2B+ 16sin^2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37

即 9+16+24sin(A+B)=37
所以sin(A+B)=1/2,
所以A+B=5π／6 或者π/6

若A+B=π／6，则cosA>√3/2

3cosA>3√3/2>1 ，则4sinB＋3cosA>1 这是不可能的

所以A+B=5π／6

因为A+B+C=180
所以 C=π/6
3）cosa=4/5,cos(a+b)=cosacosb-sinasinb=4/5cosb-3/5sinb=-4/5(1),又0<a<pi/2<b<pi,所以sin(a+b)=3/5=sinacosb+cosasinb=3/5cosb+4/5sinb(2),连接（1）（2）式，sinb=24/25