Question

点P为椭圆x^2/16＋y^2/9=1上的点，求点P到直线3x-4y=24的最大最小距离？

Answer 1

（方法一）设P参数式为（4cosa,3sina）
点P到直3x－4y＝24的距离可以表示为
|3*4cosa-4*3sina-24|/√(4^2+3^2)
=|12cosa-12sina-24|/5
=12/5*|cosa-sina-2|
=12/5*|√2cos(π/4+a)-2|
当cos(π/4+a)=-1时，取得最大值12/5*（√2+2）
当cos(π/4+a)=1时，取得最小值12/5*（-√2+2）
方法二：
椭圆x²/16+y²/9=1
直线3x-4y=24的平行线为y=3x/4+d
代入椭圆方程整理得：
9x²+12dx+8d²-8=0
点P到直线3x-4y=24距离最大或者最小，则其平行线
与椭圆仅有一个交点并且经过点P。
判别式=(12d)²-4*9*(8d²-72)=0
解得：d=±3√2
所以：平行直线为y=3x/4±3√2
所以：平行直线为3x-4y±12√2=0
与直线3x-4y=24即3x-4y-24=0的距离为：
(8±4√2）*（3/5)=(24±12√2)/5

所以：最大距离为)(24+12√2)/5，最小距离为(24-12√2)/5