Question

已知函数f(x)=ex-x(e是自然对数的底数).

已知函数f(x)=ex-x(e是自然对数的底数).(1)求f(x)的最小值；（2）设不等式f（x）>ax=的解集为P，若M={x|1/2≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围。

Answer 1

题目是不是f(x)=e^x-x
解:(1)
f(x)=e^x-x求导，得
f′(x)=e^x-1
在区间(-∞,0)上，f′(x)<0，原函数递减。
在区间(0,+∞)上，f′(x)>0，原函数递增。
则f(x)有最小值。
且为f(0)=1

(2)e^x-x>ax的解集为P
即e^x-(1+a)x>0
令g(x)=e^x-(1+a)x
同(1)中做法，可得
g′(x)=e^x-1-a
则当x=ln(1+a)时，有最小值
在区间(-∞,ln(1+a))上，g′(x)<0，g(x)递减。
在区间(ln(1+a),+∞)上，g′(x)>0，g(x)递增。
M∩P≠∅，
说明1/2≤x≤2时，
g(x)=e^x-(1+a)x≤0。
则
g(1/2)≤0
1/2≤ln(1+a)≤2
g(2)≤0
即
e^(1/2)-(1+a)/2≤0
e^(1/2)-1≤a≤e^2-1
e^2-2(1+a)≤0
解得
a≥2e^(1/2)-1
e^(1/2)-1≤a≤e^2-1
a≥e^2/2-1
所以a的范围为：
e^2/2-1≤a≤e^2-1

Answer 2

（1）先求导，得f'（x）=ex-1,所以函数在负无穷倒0递减，0倒正无穷递增，所以最小值为0
（2）第二问要换个思路，a<f(x)/x,x在0.5倒2上成立，即函数f(x)/x的值域求出来就醒了