Question

求幂级数的和函数什么时候用逐项求导,什么时候用逐项积分？

Answer 1

看系数的，例如系数是分式
类似
(1/n)
求和Σ(1/n)x^n
这时求导就把1/n消去了，等于只需求Σx^(n-1),然后积个分就可以了

如果系数是n的多项式
Σ(n+1)x^n
这时就积分，把n+1消去
就等于先积Σx^(n+1),得出结果再求导即可

原因是Σx^n是等比数列求和，好求

如果不是正好的话还需要乘上x的幂次
例如
Σnx^n
直接积分不好弄，那么先令Tn=Σnx^n
则令Sn=Tn/x=Σnx^(n-1)然后就可以积分，求和，再求导得到Sn，最后乘上x得到Tn

不明白可追问。

追问

不明白这段话
如果系数是n的多项式
Σ(n+1)x^n
这时就积分，把n+1消去
就等于先积Σx^(n+1),得出结果再求导即可
可不可以麻烦你再讲一下？

追答

逐项积分
=Σ x^(n+1)
这个有问题么？

然后等比数列求和
=1/(1-x), 收敛域|x|<1

然后求导
=1/(1-x)^2
即为所求