Question

跪求大神！

若向量a,向量b是两个非零向量,且|向量a|=|向量b|=λ|向量a+向量b|,λ∈[√3/3,1]，则向量b与向量a-向量b的夹角的取值范围是_________

Answer 1

作OA＝｜向量a｜、OB＝｜向量b｜，∠AOB＝2u。
∵｜向量a｜＝｜向量b｜，∴OA＝OB。
在∠AOB的平分线上取一点C，使OC＝OA。过C作CD∥AO交BO于D、作CE∥BO交AO于E。
容易证得：ODCE是菱形，∴向量OC＝向量OE＋向量OD。
依题意，有：｜向量a｜＝λ｜向量a＋向量b｜，｜向量OC｜＝λ｜向量OA＋向量OB｜，
∴｜向量OE＋向量OD｜＝λ｜向量OA＋向量OB｜，
而明显有：OE/OA＝OD/OB，∴OE/OA＝OD/OB＝λ。

令CO、DE相交于M，显然有：OM＝（1/2）OC＝（1/2）OB，且OM⊥DM，
∴cos∠BOC＝OM/OD＝（1/2）OB/OD＝1/［2（OD/OB）］＝（1/2）（1/λ）＝1/（2λ）。
∵λ∈［√3/3，1］，∴1≦1/λ≦√3，∴1/2≦1/（2λ）≦√3/2，∴1/2≦cos∠BOC≦√3/2，
∴π/6≦∠BOC≦π/3，∴π/3≦∠AOB≦2π/3。······①

延长BO至F，使FO＝BO，则：向量OF＝－向量FO＝－向量OB＝－向量b。
以OA、OF为邻边作平行四边形OAGF，则：向量OG＝向量OA＋向量OF＝向量a－向量b。
∴向量b与（向量a－向量b）的夹角＝∠BOG。

∵π/3≦∠AOB≦2π/3，∴π/3≦∠AOF≦2π/3，∴π/6≦∠AOG≦π/3。······②
①＋②，得：π/6＋π/3≦∠AOG＋∠AOB≦π/3＋2π/3，∴π/2≦∠BOG≦π。
∴向量b与（向量a－向量b）的夹角的取值范围是［π/2，π］。

追问

答案是[2π/3，5π/6]，今天老师讲的= =

追答

你的老师是正确的！上述解答中，倒数第二行出错了。
应该是这样的：
当∠AOB＝π/3时，∠AOG＝π/3，∴此时∠BOG＝∠AOB＋∠AOG＝2π/3。

当∠AOB＝2π/3时，∠AOG＝π/6，此时∠BOG＝∠AOB＋∠AOG＝5π/6。
∴向量b与（向量a－向量b）的夹角的取值范围是［2π/3，5π/6］。

对原解答中出现的错误，本人在此表示深深的歉意！