Question

对任意实数a，b，c，证明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca

要详细的步骤与解释

Answer 1

（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0
展开：2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时等号成立。

Answer 2

(a-b)²>=0 <=> a²+b²>=2ab <=>(a²+b²)/2>=ab
又(b²+c²)/2>=bc
(a²+c²)/2>=ac

因此
(a²+b²)/2+(b²+c²)/2+(a²+c²)/2>=ab+bc+ca

化简后即
a²+b²+c²≥ab+bc+ca

Answer 3

(a+b)²≥0,所以a²+b²≥2ab,同理b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ca. 三个不等式相加，两边都除以2