Question

解三角形的题目

已知a、b、c为三角形ABC的三边，且c=2,b=根号2倍的a.求三角形面积的最大值。
高手速进！要有详解

Answer 1

【已知】b=√2a c=2

【解析】 根据两边之和大于第三边，有：

√2a +a＞2
√2a+2＞a
a+2＞√2a

解得，2√2-2＜a＜2√2+2

∵ cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（3a²-4）/2√2a²， 设a²=t （12-8√2＜t＜12+8√2）

∴sinC=√（1-cos²C）=√[（-t²+24t-16）/8t²] ❶

又∵S△ABC=1/2 absinC=√2/2 a²sinC=√2/2 tsinC=√（2t²/4）sinC

联立❶，得：S△ABC=√[（-t²+24t-16）/16]
可以看到，里面是个开口向下的二次函数
当t=12时有最大值，且符合t的范围
∴代入t=12
∴S△ABC（max）=√8=2√2 ，当且仅当t=a²=12，即a=2√3 ，b=2√6时成立

Answer 2

设c为最长边 则a,b垂直的时候三角形面积最大，
此时a^2+b^2=5a^2=c^2=4
a^2=4/5
S=1/2*a*b=2*根号2/5 ①
设b为最长边 则a,c垂直的时候三角形面积最大，
此时a^2+c^2=b^2=4a^2
a^2=4/3 a=2*根号3/3
S=1/2*a*c=2*根号3/3②
又因为②>①
所以S最大=2*根号3/3

Answer 3

用余弦定理来解题。