Question

高等数学二重积分问题，求高手帮忙

∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2的积分：我用以下两种方法做，结果不一样，求解释。方法1：
∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=-∫(1-cosθ^2）dcosθ={-cosθ+（1/3）cosθ^3}(-π/2到π/2),结果=0；
方法2：将∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2分为-π/2到0和0到π/2，有公式∫(sinθ)^3dθ从-π/2到0和0到π/2的结果各为2/3，所以最后结果为4/9。究竟哪一种做法对？？？？

Answer 1

绝对是方法一对的，因为被积函数是奇函数，积分区间又关于原点对称，结果绝对是0.
方法二错误原因：（1）弄错了从-π/2到0和0到π/2的正负关系，从-π/2到0是正负的，0到π/2是正的
（2）积分要相加，你算得是相乘了。相加正好为0.

追问

∫(sinθ)^3dθ从-π/2到0，令θ=t-π/2，则∫(sinθ)^3dθ=∫sin（t-π/2）^3dt=∫cost^3dt，t从0到π/2，故

∫cost^3dt=∫(sinθ)^3dθ=2/3。。。。。。。这里是我算错了，∫sin（t-π/2）^3dt=-∫cost^3dt=-2/3，所以结果是零

Answer 2

方法一是对的。被积函数为奇函数，积分区间对称，所以最后结果应该为0.你第二个应该算错了。

追问

对不起，你的答案是错的

追答

好吧，不信算了！

追问

其实书上有答案，我只是不明白为什么方法一是错的

追答

我也不明白，难道书写错误了？还是你的题目搞错了？

追问

不可能是书错，全国的大学都用这本书

追答

在哪里，给我说下，我翻翻！

Answer 3

线索

1. 既然楼主都说是二重积分了，那么题目补充部分应该是二重积分题目的一部分。

2. 答案给出的不等于0，说明楼主很可能到达这步就已经算错了

3. 楼主说正确答案是4/3
   

推断

      1. 很可能sinx函数忘记加绝对值了，造成错误的原因很可能出现在开根号的时候，楼主不妨重算一下

     2.至于本题的计算，利用奇偶性

    3.sinx的n次方在（0，pi/2）积分用归约公式 (Reduction Formula)比较简单

追问

在同济大学的高等数学下册182页第二大题第三小题

追答

但从你问题来看，方法一是对的，方法二换元后积分区间没有算好。

ps:1我没有那本高数书……楼主再看一下我之前写的内容

2.废了千辛万苦找了同济下册的习题全解

Answer 4

我在你的回答中改正：
∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2的积分：我用以下两种方法做，结果不一样，求解释。方法1：
∫(sinθ)^3dθ=-∫(sinθ)^2dcosθ=-∫(1-cosθ^2） /2 dcosθ={-cosθ+（1/3）cosθ^3} ( cos(-π/2)到cos(π/2) ) ,结果= ？；/
方法2：将∫(sinθ)^3dθ从-π/2到π/2分为-π/2到0和0到π/2，有公式∫(sinθ)^3dθ从-π/2到0和0到π/2的结果各为2/3，所以最后结果为4/9 应该是 4/3 。究竟哪一种做法对？？？

你应该能从中看到自己做错的地方 。

追问

哦哦，对，是4/3

追答

第一种方法中积分项忘记除以2。积分限要跟着积分变量的改变而改变。

追问

为什么要除以2？？

追答

第一种方法中积分项忘记除以2。 哦，是我看错了。这个没有错。但下面说法是正确的。
积分限要跟着积分变量的改变而改变。

第一种方法中积分项忘记除以2。 哦，是我看错了。这个没有错。但下面说法是正确的。
积分限要跟着积分变量的改变而改变。

追问

这里并没有设置其他变量啊，只是一个变形而已啊

追答

你的这个问题很有意思。不过，我已经太久没有看高数下册了。忘记得很严重，刚才的回答太急，有些错误，还望海涵。

dθ 和dcosθ 积分限不同 dθ是从-π/2到π/2， dcosθ是cos(-π/2)到cos(π/2)。 实际和你的一样。因为你并没有把cosθ 写成S或者别的。
当然原因还不在这里，是因为cosθ的定义域是0到π，而不是-π/2到π/2。
所以dθ 积分不能直接从-π/2到π/2。