Question

关于x分之e的x次方的不定积分.原函数是多少？求解过程

Answer 1

∫ e^x / x dx

= ∫ 1/x d(e^x)

= e^x / x - ∫ e^x d(1/x)

= e^x / x - ∫ e^x * (-1/x）

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

Answer 2

这个积分不可积的，无论用哪种分部积分法都是积不了，但是可以用无穷的数列和表示：
∫ e^x / x dx
= ∫ e^x d(lnx)
= e^x * lnx - ∫ e^x * lnx dx
这个积分不可积了。

∫ e^x / x dx
= ∫ 1/x d(e^x)
= e^x / x - ∫ e^x d(1/x)
= e^x / x - ∫ e^x * (-1/x�0�5)dx
= e^x / x + ∫ e^x / x�0�5 dx
反而多了个1/x，再积分只会循环下去，所以积不完。

唯一反而方法就是用无穷数列：
∫ e^x / x dx
= ∫ ∑(k=0到∞) x^k / k! * 1/x dx
= ∑(k=0到∞) 1/k! * ∫ x^(k-1) dx
= ∑(k=0到∞) 1/k! * x^k / k + C
= ∑(k=0到∞) x^k / (k * k!) + C

Answer 3

把e^x幂级数展开e^x=1 x x^2/2! x^3/3! ...
e^x/x=1/x 1 x/2! x^2/3! ...
积分∫e^xdx/x=lnx x x^2/(2*2!) x^3/(3*3!) ... x^n/(n*n!) ...
望采纳