Question

已知数列{an/P^(n-1)}的前n项和Sn=n²+2n(其中常数p>0)

求数列{an}的通项公式
设Tn为数列{an}的前n项和（1）求Tn的表达式
（2）若对任意n∈N+,都有（1-p)Tn+pan≥2p^n，求p的取值范围

Answer 1

1)易得an/p^(n-1)=Sn-S(n-1)=2n+1
an=(2n+1)p^(n-1)
Tn=3+5p+7p^2+...+(2n-1)p^(n-1)+(2n+1)p^(n-1)①
pTn=3p+5p^2+7p^3+...+(2n-1)p^(n-1)+(2n+1)p^n②
①-②，得
(1-p)Tn=3+2p+2p^2+...+2p^(n-1)-(2n+1)p^n
当p≠1时
(1-p)Tn=1+2(1-p^n)/(1-p)-(2n+1)p^n
Tn=1/(1-p)+2(1-p^n)/(1-p)^2-(2n+1)p^n/(1-p)
当p=1时
Tn=Sn=n^2+2n

2)当p=1时，不等式扒带化为an≥2，符合题意
当p≠1时，
(1-p)Tn+pan=1+2(1-p^n)/(1-p)-(2n+1)p^n+(2n+1)p^n
=1+2(1-p^n)/(1-p)≥春姿芦2p^n
若p<1,左边单增，右边单减，因此考察n=1
有3≥2恒成立，册团因此总有0<p<1符合题意
若p>1,显然-2/(1-p)≥2
解得p≤2
因此p的取值范围为(0,2]