Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．

（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=1/4(m-3x)在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足an+1=an+ln（p-an）（n∈N*），a1=lnp，求证：an+1≥an．

Answer 1

解：（I）∵f′(x)=1/(1+x)-a，
∴f′(1)=1/2-a．
由题知1/2-a=-/12，
解得a=1．

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=4/(1+x)-1=(3-x)/(1+x)，
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln3/5+2=2(2ln3/5+1)=2ln9e/25
．
由9e≈24.46＜25，于是2ln9e/25＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．
（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=1/1+x-1=-x/1+x，
显然f'（0）=0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上是增函数，在[0，+∞）上是减函数．
∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，
∴当x∈（-1，+∞）时，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．
由已知有p＞an，即p-an＞0，所以p-an-1＞-1．
∵an+1-an=ln（p-an）=ln（1+p-1-an），
∴由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，an+1-an=ln（p-an）≥ln[p-（p-1）]=0，即an+1≥an．
当n=1，a2=a1+ln（p-lnp），
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，
∴a2≥a1+ln[p-（p-1）]=a1，结论成立．
∴对n∈N*，an+1≥an．

Answer 2

（II）该问中，若f（x）=14(m-3x)，是这样吗？在解答中，我看不明白这个
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．