Question

已知函数f(x)是(负无穷,正无穷)上是奇函数,且f(x)的图像关于x=1对称,当x属于[0,1]时,f=2^x-1

已知函数f(x)是(负无穷，正无穷)上得奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称 已知函数f(x)是(负无穷，正无穷)上得奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称 当x属于[0，1]时 f(x)=2的平方-1 1求证，函数f(x)是以4为周期的函数 2当x属于[1，2]时 求f(x)的解析式 3 计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2013)的值

(1)解
1:因为关于x=1对称，所以f(x)=f(2-x),又因为是奇函数，f(2-x)=-f(x-2) f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4).所以周期为4

为什么因为关于x=1对称，所以f(x)=f(2-x)?
一共有三个问题

Answer 1

已知函数f(x)是(负无穷，正无穷)上得奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称，当x属于[0，1]时 f(x)=2^x-1
(1)求证，函数f(x)是以4为周期的函数
(2)当x属于[1，2]时求f(x)的解析式 3 计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2013)的值

(1)解析：由“若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。”
∵函数f(x)是R上得奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称
T=4|0-1|=4
∴函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数

你的证法也是正确的
其依据是“函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)”

(2)解析：∵当x∈[0，1]时 f(x)=2^x-1
∴当x∈[-1，0]时 f(x)=-f(-x)=1-2^(-x)
当x∈[1，2]时 f(x)=2^(2-x)-1
当x∈[2，3]时 f(x)=1-2^(x-2)
当x∈[3，4]时 f(x)=1-2^(4-x)
∴区间【0，4】是函数f(x)的一个完整周期
∴f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1==> f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2013)=[ f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]*503+f(2012)+f(2013)
=f(2012)+f(2013)=0+1=1

Answer 2

明白，关于直线x=1对称，就好办了。
设点（a1,b1)、(a2,b2)关于直线x=1对称
则 a1+a2=2, b1=b2
a1=2-a2 b2=b1
即横坐标为2-x, 纵坐标不变

Answer 3

关于x=1对称，所以f(2)=f(0), f(3)=f(-1),...,f(x) = f(2-x)