Question

已知a,b为正实数,比较a3+b3与a2b+ab2的大小

速度

Answer 1

a^3+b^3-a^2b-ab^2
=a^3-a^2b+b^3-ab^2
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)^2(a+b)>0
∴a^3+b^3＞a^2b+ab^2
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追问

你能不能给我说一些关于数与式运算的一些固定公式？

追答

嗯，
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

追问

比较 x2+y2 与 3x+y-3 的大小呢

追答

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Answer 2

a^3-a^2b+b^3-ab^2
=a^2(a-b)-b^2(a-b)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
=(a-b)^2(a+b)>0
∴a3+b3>a2b+ab2
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立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
和的立方：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
差的立方：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Answer 3

解：　　（a^3+b^3）-（a^2b+ab^2)

=a^3+b^3-a^2b-ab^2
=a^3-ab^2+b^3-a^2b
=a(a^2-b^2)+b(b^2-a^2)
=a(a^2-b^2)-b(a^2-b^2)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)
=(a+b)(a-b)^2

由于这个式子肯定≥0，所以
a3+b3≥a2b+ab2

【数学王】团队为你解答

Answer 4

（a³+b³）/(a²b+ab²)
=（a+b）(a²-ab+b²)/[ab(a+b)]
=（a²-ab+b²）/ab≥（2ab-ab）/ab=1
当a=b时 a³+b³=a²b+ab²
当a≠b时，a³+b³＞a²b+ab²