Question

在三角形ABC中，已知向量BC乘向量CA=向量CA乘向量AB，若|向量BA+向量BC|=2，且B∈【π/3，2π/3】

在三角形ABC中，已知向量BC乘向量CA=向量CA乘向量AB，若|向量BA+向量BC|=2，且B∈【π/3，2π/3】，则向量BA乘向量BC的取值范围为（ ）

Answer 1

选A吧，怎么算的这么复杂：
BC·CA=-|BC|*|CA|*cosC
CA·AB=-|CA|*|AB|*cosA
即：acosC=ccosA
即：a^2+b^2-c^2=b^2+c^2-a^2
即：a=c，即△ABC是等腰三角形
取AC边中点D，则：BA+BC=2BD
即：|BD|=1，而：cos(B/2)=|BD|/|BC|=1/a
而：BA·BC=a^2cosB=cosB/cos(B/2)^2
=(2cos(B/2)^2-1)/cos(B/2)^2=2-1/cos(B/2)^2
B∈[π/3,2π/3]，即：B/2∈[π/6,π/3]
即：cos(B/2)∈[1/2,√3/2]，即：cos(B/2)^2∈[1/4,3/4]
即：1/cos(B/2)^2∈[4/3,4]，即：-1/cos(B/2)^2∈[-4,-4/3]
故：2-1/cos(B/2)^2∈[-2,2/3]
即：BA·BC∈[-2,2/3]

Answer 2

[-1,1]

过程：
∵向量BC*向量CA=BC*CA*cos(π-∠C)……(1)
向量CA*向量AB=CA*AB*cos(π-∠A)……(2)
又(1)=(2)
∴BC*CA*cos(π-∠C)=CA*AB*cos(π-∠A)
BC*cos(π-∠C)=AB*cos(π-∠A)
BC*(-cos∠C)=AB*(-cos∠A)
BCcos∠C=ABcos∠A
BC/cos∠A=AB/cos∠C
即a/cos∠A=c/cos∠C
∵由正弦定理得：a/sin∠A=c/sin∠C
∴a=c*cos∠A/cos∠C=c*sin∠A/sin∠C
cos∠A/cos∠C=sin∠A/sin∠C
cos∠A*sin∠C=sin∠A*cos∠C
cos(∠A+∠C)=1

∵|向量BA+向量BC|=2
∴(向量BA+向量BC)^2=4
BA^2+BC^2+2*BA*BC*cos∠B=4
BA^2+BC^2+2*BA*BC*cos(π-∠A-∠C)=4
BA^2+BC^2-2*BA*BC*cos(∠A+∠C)=4
BA^2+BC^2-2*BA*BC=4
(BA-BC)^2=4
|BA-BC|=2
∵向量BA*向量BC=BA*BC*cos∠B=2*cos∠B
又∠B∈[π/3,2π/3]
∴cos∠B∈[-1/2,1/2]
2cos∠B∈[-1,1]

思路步骤是对的，计算建议再算一下，若有问题请追问，谢谢~~

追问

选项没有这个结果啊？
A[-2,2/3]
B[-1,2/3]
C[0,2/3]
D[1,2/3]

追答

抱歉，错了
修正：
cos∠A*sin∠C=sin∠A*cos∠C

tan∠A=tan∠C
∠A=∠C
a=c

BA^2+BC^2-2*BA*BC*cos∠B=4

2a^2-2a^2*cos∠B=4
a^2-a^2cos∠B=2
a^2=2/(1-cos∠B)

下面不清楚了，希望有别人回答问题
∠B∈[π/3,2π/3]
cos∠B∈[-1/2,1/2]
1-cos∠B∈[1/2,3/2]
a^2=2/(1-cos∠B)∈[4/3,4]
a^2cos∠B∈[-2/3,2]
算不出选项里的，抱歉没帮上忙