Question

f(x)=x|x-a|-lnx求f(x)的单调区间。（求解答）

rt

Answer 1

分几种情况考虑：
定义域是x>0，
(1)a<=0，那么f(x)=x(x-a)-lnx，求导f '(x)=(2x^2-ax-1)/x，设分母为g1(x)，可知其有一正一负两根，求得正根为x1=[a+√(a^2+8)]/4，所以单调减区间为(0,x1]，单调增区间为(x1,+无穷)
(2)a>0，当x<=a时，f(x)=x(a-x)-lnx，求导f '(x)=(-2x^2+ax-1)/x，设分母为g2(x)，对称轴4/a>0，若其判别式△<=0，即a^2-8<=0，a<=2√2，递减区间为(0,a]；若△>0，即a>2√2，两根
x2=[a-√(a^2-8)]/4，x3=[a+√(a^2-8)]/4。递增区间为[x2,x3]，递减区间(0,x2)U(x3,a];
当x>a时，f(x)=x(x-a)-lnx，求导f '(x)=(2x^2-ax-1)/x，设分母为g3(x)，对称轴4/a>0，g3(x)恒过（0，-1）点，恒有两根，正根形式=x1。g3(a)=a^2-1，若a>1,则递增区间为(a,+无穷)，若a<=1，则减区间是(a,x1)，增区间为[x1,+无穷)
综上所述：
a<=0时，单调减区间为(0,[a+√(a^2+8)]/4]，单调增区间为([a+√(a^2+8)]/4,+无穷)
0<a<=1时，递减区间为(0,[a+√(a^2+8)]/4)，增区间为[[a+√(a^2+8)]/4,+无穷)
1<a<=2√2时，递减区间为(0,a]，递增区间为(a,+无穷)
a>2√2时，递减区间(0,[a-√(a^2-8)]/4)U([a+√(a^2-8)]/4,a];递增区间为[[a-√(a^2-8)]/4,[a+√(a^2-
8)]/4]U(a,+无穷)。
PS：好累啊