Question

高一数学。基本不等式

1.正数x,y满足x+2y=1，则1／x+1／y的最小值为_
2.已知x,y属于R，且2／x+8／y=1，求x+y的最小值_
谢谢！

Answer 1

1.正数x,y满足x+2y=1，则1／x+1／y的最小值为_
解：∵x+2y=1，∴(1/x)+(1/y)=[(x+2y)/x]+[(x+2y)/y]=[1+2(y/x)]+[(x/y)+2]=3+(2y/x)+(x/y)≧3+2√2；
当且仅仅当2y/x=x/y，即2y²=x²，x=(√2)y；(√2)y+2y=(2+√2)y=1，y=1/(2+√2)=(2-√2)/2，x=√2-1
时等号成立。即当x=√2-1，y=(2-√2)/2时(1/x)+(1/y)获得最小值3+2√2.
2.已知x,y属于R，且2/x+8/y=1，求x+y的最小值_
解：(1).如果x,y属于R，则x+y既无最大值，也无最小值。因为当x=2时8/y=0，此时y=±∞，
也就是x+y=±∞；当y=8时2/x=0，得到同样的结果。
(2)如果规定x>2，y>8，则可用基本不等式求解：
∵2/x+8/y=1，∴x+y=(x+y)(2/x+8/y)=2+(2y/x)+(8x/y)+8=10+(2y/x)+(8x/y)≧10+2√16=18；
当且仅仅当2y/x=8x/y，即2y²=8x²，y²=4x²，y=2x；即x=6，y=12时等号成立。
(3)再回到x,y属于R的情况：这时由2/x+8/y=1，解得y=8x/(x-2)；于是得：
u=x+y=x+8x/(x-2)=(x²+6x)/(x-2) [注意这个函数有一个x=2的无穷型间断点]
令u'=[(x-2)(2x+6)-(x²+6x)]/(x-2)²=(x²-4x-12)/(x-2)²=(x+2)(x-6)/(x-2)²=0，得驻点x₁=-2，x₂=6；
x₁是极大点，x₂是极小点；故得极大值=u(-2)=(4-12)/(-4)=2；极小值=u(6)=(36+36)/4=18；
这里极大值比极小值还小，这不奇怪。因为函数u有一个无穷型间断点x=2；
x→2-limu=x→2-lim(x²+6x)/(x-2)=-∞；[x→2- 表示x从2的左边靠近2]
x→2+limu=x→2+lim(x²+6x)/(x-2)=+∞；[x→2+ 表示x从2的右边靠近2]
故若规定x,y属于R，则x+y既无最大值，也无最小值，但有极大值2和极小值18.

Answer 2

①利用基本不等式求最值，必须考虑三点：正数、定值、相等。
所以本题的方法
1/x+1/y
=(x+2y)/x+(x+2y)/y
=1+2+2y/x+x/y
=3+2y/x+x/y
≥3+2√2
当且仅当 2y/x=x/y时等号成立，
所以 1/x+1/y的最小值是3+2√2

②x+y
=(x+y)(2/x+8/y)
=2+8x/y+2y/x+8
=10+8x/y+2y/x
>=10+2√（8x/y*2y/x）
=10+8=18

Answer 3

已知条件的式子值为1，所以将所求式子与已知式相乘，展开，用均值不等式即可