Question

是否存在一个无理数的无理数次方为有理数？

Answer 1

无理数多。
这是个穷集合的对等的问题,和有限集比较元素个数不同。
首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的(即“一样多”)。
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的(n对应2n),因而它们是对等的。
因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等;又因为整数对儿(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)……可以排成有序的一列(正负可以交错排列),因此整数对儿和自然数也对等。
同样的,由于无理数有1.1415926……,2.1415926……,3.1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的。因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少。
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。
我们用反证法。反设无理数可以排成一列(从而可以编号1、2、3……):
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多。

Answer 2

构造一个数吧令a= 根号2 ，无理数令b= 以[根号2]为底的，n的对数 记做log(根号2，n) , 也是无理数， a^b = [根号2] ^ [log(根号2，n)] = n --- 有理啦

Answer 3

不存在一个无理数的无理数次方为有理数。