Question

等差数列中Sm=Sn(m≠n) ,则Sm+n=

等差数列中Sm=Sn(m≠n) ,则Sm+n=

Answer 1

Sm=a1m+m(m-1)d/2=n (1)
Sn=a1n+n(n-1)d/2=m (2)
(1)-(2)
a1(m-n)+(m+n-1)(m-n)d/2=n-m
a1+(m+n-1)d/2=-1
a1=-1-(m+n-1)d/2

Sm+n=a1(m+n)+(m+n)(m+n-1)d/2
=[-1-(m+n-1)d/2](m+n)+(m+n)(m+n-1)d/2
=-(m+n)

参考：

Sn=(a1+an)n/2
=(a1+a1+nd-d)n/2
=n(a1-d/2)+dn²/2
=an²+bn
其中，a=(a1-d/2),b=d/2
这么设是为了表示的方便而已。
所以有，
Sn=an²+bn=m
Sm=am²+bm=n
故Sm-Sn=(am²+bm)-(an²+bn)=a(m-n)(m+n)+b(m-n)=n-m
得知a(m+n)+b=-1
则Sm+n=a(n+m)²+b(n+m)
=(n+m)[a(n+m)+b]
=-(m+n)

Answer 2

a(n)=a+(n-1)d,
s(n)=na+n(n-1)d/2,
s(m)=ma+m(m-1)d/2,
na+n(n-1)d/2=s(n)=s(m)=ma+m(m-1)d/2,
0=na-ma+n^2d/2-nd/2-m^2d/2+md/2
=(n-m)a+(n-m)(n+m)d/2-(n-m)d/2
=(n-m)[a+(n+m)d/2-d/2],
0 = a + (n+m-1)d/2,

s(m+n)=(m+n)a + (m+n)(m+n-1)d/2
=(m+n)[a + (n+m-1)d/2]
= 0