Question

已知数列{an}满足a1=1，a（n+1）=2an+1（n∈N*） （1）求数列{an}的通项公式；

已知数列{an}满足a1=1，a（n+1）=2an+1（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足4的b1-1次方•4的b2-1次方•4的b3-1次方…4n的bn-1=(an+1)的bn次方，求证数列bn是等差数列
（3）证明n/2-1/3<a1/a2 +a2/a3 +````an/an+1<n/2

Answer 1

（an+1）+1=2（橡姿清an+1）
所以an+1是梁前以册缓2为公比以2为首项的等比数列
an+1=2^n
an=2^n-1

(2)
4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn
4^[b1+b2+b3+...+bn-n]=[2^n]^bn
2^{2*[b1+b2+b3+...+bn-n]}=2^[n*bn]
2*[b1+b2+b3+...+bn-n]=n*bn
2*[b1+b2+b3+...+bn]-2n=n*bn
b1+b2+b3+...+b(n-1)+bn=n*(2+bn)/2
可知bn是b1=2的等差数列
(3)an/a(n+1)=(2^n-1)/(2^(n+1)-1)=(2^n-1)/(2*2^n-1)<(2^n-1)/(2*2^n-2)=1/2
又有an/a(n+1)=(2^n-1)/(2*2^n-1)=[1/2(2*2^n-1)-1/2]/(2*2^n-1)=1/2-1/(2^2*2^n-2)
故有a1/a2+a2/a3+...+an/a(n+1)<n/2