Question

如何求均匀半球壳的质心 微积分 数学 物理

设半径为R 面密度为σ 注意是球壳不是球体
用一元函数的微积分

Answer 1

将半球切割为厚度dz的无限个圆盘，每个圆盘的质心为圆心，所以半球的质心z坐标为（0，0，z），设r（i）为圆盘半径，R为半球半径，V为半球体积

z=∫（0->R）{πr(i)^2zdz/V}

=3/(2R^3)∫（R^2-z^2）zdz

=3/(2R^3)[(z^2R^2)/2-(z^4)/4]|(R,0)

=3R/8

g(x,y,z)=(0,0,3R/8)

与半球面平行，所得的每一个平行于大圆的小圆的重心都在圆心，则所有圆心共线为球的半径，设中心处所在的小圆半径是r，所有小圆的半径和为R，球的半径为R1，又公式C=2πR，则重心所在的小圆满足4πr=2πR，用微积分R等于球大圆面积的四分之一，

即R=1／4×πR1×R1,r=1／16×R1×R1,再利用勾股定理求的球心距，即得答案。

扩展资料：

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

参考资料来源：百度百科-微积分

Answer 2

追问

答案是 R/2

追答

谢谢指正，原来那个请大家无视，错因是将面积微元的dx误认为是圆窄条宽度了，应该是dι=R*dθ，勘误如下：