Question

设f（x）＝ax^2－2x＋2对于满足1＜x＜4的一切值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围

Answer 1

这个其它分为4种情况

第一种 a=0 不成立
第二种 a不等于0，并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递增求出a的范围
第三种 a不等于0 并且f(x)=ax^2-2x+2 1<x<4上单调递减求出a的范围
第四种 a不等于0 f(x)的只要使f(1)>0 并且f(4)>0求了a的范围

四种情况的并集就是a的取值范围

答案是 (1/2 ,+无穷大）

Answer 2

f(x)=0有两个根：（2±√(4-8a))/(2a)=(1±√(1-2a))/a
(1)a=0,f(x)=-2x+2>0,x<1,不行；
(2)1-2a<0,a>1/2,函数开口向上，位于坐标轴上方，满足题意；
(3)1-2a>=0,a<1/2,
《1》0<a<1/2,图像开口向上，(1,4)位于两根之外才满足题意：
4<(1-√(1-2a))/a 或 1>(1+√(1-2a))/a
4a<1-√(1-2a) 或 a>1+√(1-2a)
√(1-2a)<1-4a 或a-1>√(1-2a)>=0,后一式 a<1/2时无解
1-2a<1-8a+16a^2
16a^2-6a>0
8a>3,a>3/8,
即3/8<a<1/2
《2》a<0,开口向下，(1,4)位于两根之间
(1-√(1-2a))/a<1 且 (1+√(1-2a))/a>4
1-√(1-2a)>a 且 1+√(1-2a)<4a,左边大于0，右边小于0，不成立，无解。
（3）1-2a=0，a=1/2,有两个等根x=2，位于(1,4),不和要求。
结论：3/8<a<1/2 或 a>1/2