Question

设f（x）＝ax^2－2x＋2对于满足1＜x＜4的一切值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围？

Answer 1

这个问题我们需要分情况讨论：
1）当a=0时f(x)＝-2x＋2，根据题意我们可以得到-6＜-2x＋2＜0，显然不符合题意
2）当a＞0时，我们对于此问题进一步分情况讨论：
(1)a≥1时，此时f(x)的对称轴为0＜1/a≤1，因此f(x)在区间（1,4）上是递增的从而f(x)＞f(1)=a＞0，从而符合题意
(2)0＜a＜1时，此时f(x)的对称轴在（1,4）内部可以取到最小值，所以f(x)≥f(1/a)=2-1/a要使得大于0从而可以求得a满足a＞1/2，结合前提0＜a＜1，我们可以得到此时a的范围为1/2＜a＜1
3）当a＜0时，此时f(x)的对称轴为1/a在区间（1,4）左边从而f(x)在（1,4）上递减满足f(x)＞f(4)=16a-6，所以只要f(4)≥0即可，因此我们求得a的范围为a≥3/8，结合前提a＜0，此时a不存在。

综上所述：我们可以得到a的取值范围为（1/2，+∞）

我们可以总结一下这个问题应该如何解决。首先对于这种含参变量的二次函数一定要分情况讨论，是二次项等于0的时候和不等于0的时候，然后对于二次函数我们常用的解法就是看对称轴，看开口方向，看单调性，这就可能需要我们再进一步的分情况了，这种环境下我们一定要细心讨论不要盲目求成否则很可能会导致所分情况少了或者多了甚至分的情况不合理，一方面这会加大我们的计算量进而耽误时间另一方面会影响做题的速度。所以分情况讨论也要适当并且合理。

Answer 2

解：（1）a>0时，①⊿=4-8a>0∴a<1/2即0<a<1/2时，x=[2±√(4-8a)]/2a
若4<[2-√(4-8a)]/2a或者1>[2+√(4-8a)]/2a∴无解
②⊿=0时，a=1/2，f(x)=1/2x²-2x+2=1/2(x-2)²，∴除x=2外f(x)>0∵1<2<4∴不成立
③⊿<0,，a>1/2时，f(x)>0
（2）a=0时，f(x)=-2x+2，x=2时f(2)=-2<0∴不可能
（3）a<0时，⊿>0, 若1<x<4 ,f(x)>0 开口向下
∴f(1)=a-2+2≥0 f(4)=16a-8+2≥0
∴a≥0 a≥3/8
∴不存在
故，综上a>1/2