Question

为什么 ？ 设f（x）＝ax^2－2x＋2对于满足1＜x＜4的一切值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围？求...

为什么 ？ 设f（x）＝ax^2－2x＋2对于满足1＜x＜4的一切值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围？求过程！

Answer 1

解：分三大类讨论：
(1)当a<0时，二次函数在(-∞，1/a]上是增函数，在[1/a，+∞)是减函数，
因为1/a<0,所以1<x<4是[1/a，+∞)的真子集，
所以函数在1<x<4上是减函数，
所以此时f(x)的最小值=f(4)=16a-6,
因为当f(x)的最小值都大于0时，f(x)>0就恒成立，所以16a-6>0,解得a>3/8,
但前提是a<0,所以a<0时，没有满足条件的a.
(2)当a=0时，f(x)=-2x+2,对x=2,有f(2)=-2，不满足f(x)>0，所以a=0不满足条件。
(3)当a>0时，分三小类：
①对称轴x=1/a在区间(1,4)的左边时，1/a≤1，并且二次函数在(1,4)上是增函数，
所以如果f(x)的最小值=f(1)=a>0成立，则f(x)>0恒成立，解得a≥1，
②当对称轴x=1/a在区间(1,4)中穿过时，1<1/a<4，即1/4<a<1，
此时二次函数在顶点处取得最小值f(1/a)，若f(1/a)=-1/a+2>0成立，f(x)>0恒成立，
解得a>1/2,因为1/4<a<1,所以1/2<a<1.
③当对称轴x=1/a在区间(1，4)的右边时，1/a≥4，即0<a≤1/4,
此时二次函数在(1,4)上是减函数，若f(x)的最小值=f(4)=16a-6>0成立,则f(x)>0恒成立，
由16a-6>0得a>3/8，因为0<a≤1/4,所以此时没有满足条件的a.
综上所述，a>1/2.
注：因为(3)中的①和②都满足题意，所以应该求并集！

Answer 2

解：（1）a>0时，①⊿=4-8a>0∴a<1/2即0<a<1/2时，x=[2±√(4-8a)]/2a
若4<[2-√(4-8a)]/2a或者1>[2+√(4-8a)]/2a∴无解
②⊿=0时，a=1/2，f(x)=1/2x²-2x+2=1/2(x-2)²，∴除x=2外f(x)>0∵1<2<4∴不成立
③⊿<0,，a>1/2时，f(x)>0
（2）a=0时，f(x)=-2x+2，x=2时f(2)=-2<0∴不可能
（3）a<0时，⊿>0, 若1<x<4 ,f(x)>0 开口向下
∴f(1)=a-2+2≥0 f(4)=16a-8+2≥0
∴a≥0 a≥3/8
∴不存在
故，综上a>1/2