Question

已知0<x,y,z<1,且xy+yz+zx=1,求证:y/[2-（根号3）x]+z/[2-（根号3）y]+x/[2-（根号3）z]≥根号3

已知0<x,y,z<1,且xy+yz+zx=1,求证:y/[2-（根号3）x]+z/[2-（根号3）y]+x/[2-（根号3）z]≥根号3

Answer 1

将不等式:y/(2-√3x)+z/(2-√3y)+x/(2-√3z)>=√3
化简得到2(x+y+z)>=√3(xy+yz+zx)+√3=2√3，
即要证 (x+y+z)>=√3
而 (x+y+z)^2
=2xy+2yz+2zx+x^2+y^2+z^2
=2xy+2xz+2yz+1/2*(x^2+y^2+x^2+z^2+y^2+z^2)
>=2xy+2xz+2yz+1/2*(2xy+2xz+2yz)
=3xy+3xz+3yz=3
∴(x+y+z)>=√3
∴命题成立
很高兴为您解答，祝你学习进步！
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答，请选为满意答案，并点击好评，谢谢！

Answer 2

将不等式:y/(2-x*3^(1/2))+z/(2-y*3^(1/2))+x/(2-z*3^(1/2))>=3^(1/2)
化简得到2(x+y+z)>=3^(1/2)(xy+yz+zx)+3^(1/2)=2*3^(1/2)，
即要证 (x+y+z)>=3^(1/2)
而 (x+y+z)^2=xy+yz+zx+x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz+1/2*(x^2+y^2+x^2+z^2+y^2+z^2)>=2xy+2xz+2yz+1/2*(2xy+2xz+2yz)=3xy+3xz+3yz=3
所以(x+y+z)>=3^(1/2)

Answer 3