Question

f(x)在R上是奇函数，且f（x+2)=-f(x),当x属于（0，2）时，f（x）=2x²，则f(7)=

A. -2 B.2 C.-98 D.98

帮我写一下求此函数周期的过程就可以了。不用求答案，不过做到底也并不反对... ...
参考答案上f（x+4）=- f（x+2）=f(x)是这么写的，顺便帮我解释一下，谢谢

Answer 1

首先明确题目给出的信息：
R上的奇函数→f（x）=-f(x) ①
f（x+2）=-f(X) ②
f（x）=2x² x属于（0，2） ③
然后推出周期：
由①可得f（x+4）=-f(x+2),又由②可得出-f(x+2=f(x)
所以f(x+4)=f(x)，既4为周期
所以f(7)=f(4+3)=f(3)
又因为4是周期
所以f（3）=f（-1）
又由①得f（-1）=-f(1)，即f(7)=-f(1)
由③得f(1）=2
所以f(7)=-2

Answer 2

f（x+4）=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)

第一步里用x+2代替x,
所以4一定是周期,然后你可以知道,f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2,所以周期不可能是2,又有
当x属于（0，2）时，f（x）=2x²
,所以周期不可能小于2,所以周期一定是4,所以f(7)=f(3)=-2

追问

第一步里用x+2代替x的话不是 -f（x+4)=-f（x+2）=f(x)吗？ - 上哪儿去了？如果把 -括号里不是f（-x+4)吗？

追答

f（x+4）=f((x+2)+2)=-f(x+2)

这个没错吧.

你如果-f（x+4)=-f（x+2）成立的话,周期就是2了啊..就是f(x)=f(x+2),这样的话和题意一合并,f(x)=0了..

追问

好吧。那我在给出参考答案上的 f（x+4）=- f（x+2）=f(x)这个式子以前并不知道周期为4. 能不能写下从 f（x+2)=-f(x)算出f（x+4）=- f（x+2）=f(x)的过程啊？

追答

f（x+2)=-f(x)时,你就可以用x+2代替x

所以f((x+2)+2)=-f((x+2))
这步你知道了吧,
然后上面的式子就是-f(x+2),这个时候我们又知道f（x+2)=-f(x)
所以-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)
合起来就是f（x+4）=- f（x+2）=f(x)

Answer 3

令x+2=t，则f（x+4）=f（t+2）=-f（t）
又f（t）=f（x+2）=-f（x） 所以f（x+4）=f（x）
f（7）=f（3）=f（-1）
又f（x）为奇函数
∴f（-1）=-f（1）=-2
∴选了一个A
请采纳！

Answer 4

令x+2=x带入f（x+2）=-f（x)就得f（x+4）=-f（x+2），即得