Question

如何证明不等式(x^n)*(1-x)<=(n^n)/[(n+1)^(n+1)],x属于[0,1],n>=1,n是正整数。

Answer 1

(n^n)/[(n+1)^(n+1)]
=[n/(n+1)]^n × 1/(n+1)
=[n/(n+1)]^n ×（1-（n/(n+1)））
令f（x）=(x^n)*(1-x)，只需要说明f（x）<=f（n/（1+n）） x属于【0，1】
又因为f ‘（x）=x^n ×（n/（n+1）-x）只有两个零点：0，n/（n+1）
得到函数的两个极值点：0，n/（n+1） （其中n/（n+1）<1）
容易分析出函数在[0，n/（n+1）]递增，在[n/（n+1），1]上递减
所以f（x）<=f（n/（1+n）） x属于【0，1】
所以原不等式成立

追问

这样分析是个好办法，资料上说用几何平均-算术平均不等式证明，但是看起来没你分析得清楚易懂

追答

(x^n)*(1-x)
=x * x * ……*x *（1-x）==x * x * ……*x *（n-nx）/n
x属于[0，1]根据基本不等式几何平均数不大于算数平均数，对分子采用此不等式

立刻得到：
x * x * ……*x *（n-nx）/n <=（n/（n+1））^（n+1） /n
=
(n^n)/[(n+1)^(n+1)]