Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=负的f(x),且在区间[0,2]上是

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=负的f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则f(-25),f(11)， f(80)大小关系？

Answer 1

由于f(x)是周期为4的函数和奇函数所以
f(-25)=-f(25)=-f(1)
f(11)=f(7)=f(3)
f(80)=f(0)
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0;且在区间[0,2]上是增函数了，那么f(3)>f(1)>f(0)=0
但是f(-25)=-f(1)<0
综上f(-25)<f(80)<f(11)

追问

您好，能不能把f(-25)=-f(25)=-f(1)
f(11)=f(7)=f(3)
f(80)=f(0)
详细一些啊

追答

不好意思。刚刚看错了，没看到负的f(x)
f(x)是奇函数;f(-x)=-f(x);这样f(-25)=-f(25)
由于f(x-4)=-f(x);那么f(x-8)=-f(x-4)=f(x)
所以f(x)是周期为8的函数
那么根据f(x)=f(x-8)
f(25)=f(25-8)=f(17) f(17)=f(17-8)=f(9) f(9)=f(9-8)=f(1)
f(11)=f(11-8)=f(3) 再利用f(x)=-f(x-4),那么f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=f(1)
f(80)=f(0)
因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0;且在区间[0,2]上是增函数了，那么f(1)>f(0)=0
但是f(-25)=-f(1)<0
综上f(-25)<f(80)<f(11)

Answer 2

解析：∵在R上的奇函数f(x)，有f(x-4)=-f(x)
令x=x-4代入f(x-4)=-f(x)得f(x-8)=-f(x-4)=f(x)
令x=x+8代入f(x-8)=f(x)得f(x)=f(x+8)
∴f(x)是以8为最小正周期的周期函数
∵在区间[0,2]上是增函数
∴在区间[2,6]上是减函数，在区间[6,8]上是增函数
F(0)=0
∴f(-25)=f(-1-3*8)=f(-1)<0
f(11)=f(3+8)=f(3)>0，f(80)=f(0)=0
∴，则f(11)>f(80)> f(-25)

Answer 3

将x换成x-4可得 -f（x-4）=f（x-8）=f（x），为周期为8 的奇函数，所以f（80）=f(0)=0,f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)= -f(-1),题目说在 闭区间 【0，2】是增函数,所以在【-2,0】也是增函数且小于零，即f（-1）小于零，综上 f（-1）＜f（0）＜-f（0）即f（-25）＜f（80）＜f（11）

Answer 4

f（x-4)=-f(x)=f(-x) 所以f（x-4)=f(-x) 设x-2=m 则f(-2+m)=f(-2-m) 所以x=-2为对称轴 设x-4=n 则f（n)=-f(n+4) 所以-f(n)=f(n+4） 可知-f(x)=f(x+4) 又因为f（x-4)=-f(x) 所以f（x-4）=f(x+4) 所以可知周期为8 所以f(-25)=f（-1） f(11)=f（-5） f(80)=f（0） 函数在0至2上增 所以在-2至0上也曾 所以f（-1）<f（-1） 因为-2为对称轴所以f（-5）=f（1）所以可知结果为f(-25)<f(80)<f(11)

Answer 5

f(80)大于f(-25)等于f(11)