Question

数学 详细过程

Answer 1

由条件(1)知，函数关于x=-1偶对称，所以f(x)=a(x+1)^2+d,
根据条件(3): a>0，且d=0
根据条件(2): 区间(0,2)不含最低点，a(x+1)^2<=(x+1)^2/4，得到a<=1/4
由条件(1)的第二部分，要求f(x)>=x,得到a(x+1)^2>=x，ax^2+(2a-1)x+a>=0,

由于a>0,所以这个不等式对任意x都成立则要求（2a-1)^2-4a^2<=0, 得出-4a+1<=0
即a>=1/4
综合条件(2)的结果a<=1/4,所以a=1/4
所以表达式为f(x)=(x+1)^2/4 ,f(1)=1

f(x+t)=(x+t+1)^2/4=(x+1)^2/4+t(x+1)/2+t^2/4<=x
由于(x+1)^2/4总是大于等于x（题目条件(1)），所以得到不等式x+t(x+1)/2+t^2/4<=x
即t(x+1)/2+t^2/4<=0,t(2x+2+t)<=0,解为t<=0,2x+2+t>=0或t>=0,2x+2+t<=0
1)当t<=0同时2x+2+t>=0得：t<=0且t>=-2(x+1),存在t则要求-(x+1)<=0,即x>=-1
1)当t>=0同时2x+2+t<=0得：t>=0且t<=-2(x+1),存在t则要求-(x+1)>=0,即x<=-1
显然，当x>=1时，总存在t<=0,使f(x+t)<=x.
所以最大的m为正无穷大