Question

求幂级数的和，用逐项积分或逐项求导求

Answer 1

这类题目的思路就是利用求导或者积分，把系数中的n去掉，让它变成纯纯x^n相加的等比级数，这样就好求了，别忘了求出和以后要变回去，比如先求导再求和之后要积一次分，才是真正要求的答案。

(1)前面系数是n，通过积分可以把系数n消掉，
①消去n
∫nx^n-1 dx=x^n（积分常数必然取为0，否则不收敛）
②求和
Σx^n=x/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。
③求导还原出最后结果
[x/(1-x)]'=1/(1-x)²

(2)系数是1/n可以通过求导消去
①消去n
[x^n/n]'=x^(n-1)
②求和
Σx^(n-1)=1/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。
③积分还原出最后结果
∫1/(1-x) dx=ln(1-x)+C
对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0
最后结果是ln(1-x)

(3)还是分母上有n，求导消去
①消去n
[x^(2n+1)/(2n+1)]'=x^(2n)
②求和
Σx^(2n)=1/(1-x²)这个就是等比级数的求和公式（注意n从0开始）。
③积分还原出最后结果，这个积分稍微要算一下，用部分分式展开的办法计算
∫1/(1-x²) dx=1/2 ∫[1/(x+1)+1/(1-x)]dx=1/2 ln[(x+1)/(1-x)]+C
对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0
最后结果是1/2 ln[(x+1)/(1-x)]

不保证上面计算都正确，楼主检查检查，总之思路要清楚。

追问

明白了，是不是积分后或者求导后，可以得到等比公式，这样简化了，然后再给他求导或积分回去。是这样吧？

追答

对啊，思路就是这样，理解了就行。
实在不好意思，第2题漏掉了一个负号，∫1/(1-x)dx应该等于-ln(1-x)。1楼用软件打出来的那个答案最标准……

追问

嗯，我再问个问题，Σx^(2n)=1/(1-x²) 这个求和公式怎么推的？用了哪个公式？

追答

这不是等比数列么？只不过你把x^2n求和，看成x²的n次方求和，这样公比q=x²而不是x，求和从0开始，所以首项a=1，再用等比级数公式a/1-q得到和是1/(1-x²)

Answer 2

首先收敛域都是(-1,1)
第一题先积分，
=Σ<n=1> x^n 等比数列求和，首项为x，公比为x
=x/(1-x)
再求导可得原级数的和函数为1/(1-x)^2

第二题先求导
=Σ<n=1> x^(n-1) 等比数列求和，首项为1，公比为x
=1/(1-x)
再积个分，注意x=0时级数和=0
可得
和函数
=ln(1-x)

第三题先求导
=Σ<n=0> x^(2n) 等比数列求和，首项为1，公比为x^2
=1/(1-x^2)
然后积个分，注意x=0时级数和=0
=(1/2)[∫dx/(1-x)+∫dx/(1+x)]
=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]

Answer 3

Answer 4