Question

函数f(x)对任意x属于R,满足f(x)=f(2-x),如果方程f(x)=0恰有2013个实根，则所有这些实根之和为？

答案是2013，但不知为何有此结果

Answer 1

设a1,a2......a2013为f(x)=0的2013个实根。则由于对于任意的x属于R，均有f(x)=f(2-x)，则2-a1,2-a2......2-a2013同样为f(x)=0的实根。但是可知这两组2013个实根其实都是同一组实根，因为只有2013个实根，只不过是将顺序打乱了而已。因此我们把这两组2013个实根求和得4026.正好是2013个实根的2倍。因此所有实根之和=4026/2=2013

Answer 2

由上可知，f(1+x)=f(1-x)则函数关x=1对称，所以函数的零点都关于x=1对称，由于有2013个零点，所以x=1必是零点，不然肯定有偶数个零点，假设x是零点，则2-x,也是零点，之和等于2，共有(2013-1)/2对的这样零点，所以零点之和为(2013-1)／2 *2+1=2013

追问

请问能再详细解释“(2013-1)／2 *2+1=2013”这一步么？

追答

除了1以外所有的零点都关于x=1对称，共有(2013-1)/2这样对的零点，每对之和都是2，上面解释了，

你在看看我上面写的

明白了吗

Answer 3

根据f(x)=f(2-x)的特性以及2013个实根，推x=1为一个实根，剩下2012个实根x，都能找到2-x再加上2012个实根肯定是算所有的除等于1的实根，则x+2-x运算一共出现1006对，得出2012，加上等于1得出2013.