Question

函数f（x）＝lg（x＾2－ax－1）在区间（1，正无穷）上是单调增函数，则a的取值范围是？

Answer 1

此题利用复合函数的单调性来求解

1.复合函数的概念

如果 y是u的函数，u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，其中是中间变量u，自变量为x，函数值y。

2. 复合函数的单调性

同增异减规律：复合函数的子函数u=g（x）与母函数y=f（u）在某一区间单调性相同（同为增或同为减）那么复合函数在此区间单调性为增；复合函数的子函数与母函数在某一区间单调性不同，那么复合函数在此区间单调性为减。以上结论都要在函数定义域内。

解：函数f（x）＝lg（x＾2－ax－1）由f（x）＝lg（u）和u=x＾2－ax－1复合而成

       因为  f（x）＝lg（u）在（1，正无穷）是单增，函数f（x）＝lg（x＾2－ax－1）在区间（1，正无穷）上是单调增函数

    所以则需u=x＾2－ax－1在（1，正无穷）上单增，故对称轴x=-2a/b≤1

  解得a≤2

    关更多复合函数单调性的知识见附件

Answer 2

lg里面的方程：x²-ax-1>0，且由b^2-4ac=a^2+4>0恒成立

即方程有两个不同的跟。
求得：x1=(a-根号（a^2+4))/2，x2=(a+根号（a^2+4))/2
由于x1<x2
既有当x2=(a+根号（a^2+4))/2<=1时条件成立。
最终解得a<=0。
自己可以在纸上画个图就知道为什么是最大的数小于1时才成立了。

Answer 3

lgx递增
则x²-ax-1递增
对称轴x=a/2
增区间在他右边
所以1≥a/2
a≤2

真数大于0
递增
所以只要x=1时
x²-ax-1≥0
a≤0

综上
a≤0

Answer 4

a/2<1
1-a-1>0
所以
a的取值范围是 a<0