Question

反比例函数与二次函数

（2012•呼和浩特）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y=k/x 相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（-2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-2，2）在双曲线y=kx上，
∴k=-4，
∴双曲线的解析式为y=-4/x，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，-4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，
∴抛物线y=ax^2+bx+c（a＜0）过点A（-2，2）、B（1，-4）、O（0，0），
∴4a-2b+c=2
a+b+c=-4
c=0，
解得：a=-1 b=-3 c=0，
故抛物线的解析式为y=-x^2-3x；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x^2-3x，
∴顶点E（-3/2，9/4），对称轴为x=-3/2，
∵B（1，-4），
∴-x^2-3x=-4，
解得：x1=1，x2=-4，
∵C横坐标＜0，
∴C（-4，-4），
∴S△ABC=5×6×12=15，
由A、B两点坐标为（-2，2），（1，-4）可求得直线AB的解析式为：y=-2x-2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（-32，1），
∴EF=9/4-1=5/4，
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=1/2×5/4×3=15/8；

（3）S△ABE=15/8，
∴8S△ABE=15，
∴当点D与点C重合时，显然满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=-2x-12，
令-2x-12=-x^2-3x，
解得x1=3，x2=-4（舍去），
当x=3时，y=-18，
故存在另一点D（3，-18）满足条件．
综上可得点D的坐标为（3，-18）或（-4，-4）