Question

已知fx是二次函数,不等式fx<0的解集为(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值为12,解关于x的不等式：fx-mx+5m>0

Answer 1

设fx=ax^2+bx+c.
1、首先，二次函数fx<0的解集为有限集，说明该函数开口向上，可得第一个条件a>0。
2、同时，很明显fx=0的两个解分别是0和5，这里就有-b/a=0+5=5, c/a=0*5=0. 即b=-5a, c=0.
3、然后，画个图像，明显可知区间[-1，4]的最大值是当x=-1时取得。（虽然这个是一眼看穿，但最 好还是证一下单调性更严谨）。那么就有f(-1)=12,化简得，a-b+c=12
4、综合上式，得，a=2,b=-10,c=0
5、则不等式即为 2x^2-(10+m)x+5m>0. 可知左边是个开口向上的二次函数图形。若要它恒大于0零，那就需要需要函数的最低点大于0. 用公式(4ac-b^2)/4a>0就行。 解得m不等于10.

追问

2x^2-(10+m)x+5m>0. 可得（2x-5）（2x-m）>0不能对m进行分类讨论吗

追答

这里是可以化为（x-5)(2x-m)>o，但是意义不大。因为这里本来就是不等式，而且x还是不确定的值，对m进行分类讨论得到结果会比较模糊的。
对于分类讨论这种方法，如果是把m分离出来，即能化成m＞g(x)的形式，那么就可以根据x的变化画出g(x)函数图像。此时直线y=m在g(x)上方就可满足条件。然后再根据图像进行分类讨论，这样可能严谨一些。

BTW，我快大三了，如果我有什么记错或者混淆的地方就请见谅啦。。