Question

如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=4,点D，E分别在边AB,AC上，DE与BC的延长线相较于点F，且FC·FB=FE·FD

如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=4,点D，E分别在边AB,AC上，DE与BC的延长线相较于点F，且FC·FB=FE·FD 如果△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长
求详细步骤！

Answer 1

解：因为FC*FB=FE*FD
所以FC/FE=FD/FB
因为角F=角F
所以三角形EFC和三角形BFD相似
所以角B=角CEF
因为角ADE=角CEF
所以角B=角AED
因为角A=角A
所以三角形ADE和三角形ABC相似（AA)
所以三角形ADE的周长：三角形ACB的周长=DE：BC
因为三角形ADE的周长=四边形BCDE的周长
所以三角形ADE的周长=1/2三角形ACB的周长
所以DE=1/2BC
因为BC=4
所以DE=2

Answer 2

解：
∵FC·FB=FE·FD
∴B，C,D,E四点共圆
∴△ADE∽△ACB
∴可设AD=kAC=6k，AE=kAB=8k，DE=kBC=4k
又因为△ADE的周长与四边形BCED的周长相等
∴AD+DE+EA=(AB-AD)+BC+(CA-AE)+DE
即6k+4k+8k=（8-6k）+4+（6-8k）+4k
解得k=9/14
∴DE=18/7

Answer 3

∵FC·FB=FE·FD
即FB/FE=FD/FC
∠F=∠F
∴△CEF∽△DBF
∴∠CEF=∠B=∠AED
∵∠B=∠AED
∠BAC=∠EAD
∴△ADE∽△ACB
∴DE/BC=AD/AC=AE/AB
DE/4=AD/6，DE/4=AE/8
AD=3/2DE
AE=2DE
∴BD=AB-AD=8-3/2DE
CE=AC-AE=6-2DE
∵AD+AE+DE=BD+DE+BC+CE
∴3/2DE+2DE+DE=8-3/2DE+4+6-2DE
8DE=18
DE=9/4

Answer 4

DE=18/7 , AD=27/7， AE=36/7， EC=6/7