Question

在一等边三角形所在平面内找点，使它与等边三角形的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形

请问这样的点共有几个？看答案是10个。请问怎么解？

Answer 1

设等边三角形为ABC，边长为a，则作BC的中垂线，可知这条中垂线经过点A，在这条中垂线上有四个点符合要求：在A点外侧，距A点距离为a的一点；等边三角形的重心(同时也是垂心、内心和外心)；在BC外侧，距A点距离为a的一点；在BC外侧，距B点和C点距离为a的一点。同理可知作AC和AB的中垂线也各能找到这么四个点，而这些点中等边三角形的重心是重复出现的，所以这样的点共有3+3+3+1=10个。