Question

高一数学圆与方程

已知△ABC是圆x^2+y^2=9的内接三角形,点A(-3,0),重心G(-1/2,-1),求:(1)直线BC的方程；
(2)弦BC的长. 写下过程和答案

Answer 1

首先先列几个公式出来
①重心公式：（Xa+Xb+Xc）/3=Xg (Ya+Yb+Yc)/3=Yg
②已知两点，其连线中点为[（Xb+Xc)/2，(Yb+Yc）/2]

设B的坐标为（Xb,Yb），C的坐标为(Xc,Yc),直线BC方程为y=kx+b,BC中点D坐标为（s,t）
由公式①，可得：
(Xb+Xc-3)/3=-1/2 (Yb+Yc)/3=-1
∴Xb+Xc=3/2 Yb+Yc=-3
∴s=3/4 t=-3/2

∵圆的方程为x^2+y^2=9
∴Xb^2+Xc^2=9 Yb^2+Yc^2
∴Xb^2-Xc^2+Yb^2-Yc^2=0
∴（Xb+Xc）(Xb-Xc)+(Yb+Yc)(Yb-Yc)=0
∴3(Xb-Xc)=6(Yb-Yc)
∴k=(Yb-Yc)/(Xb-Xc)=1/2
∴y=(1/2)x+b
∵D在直线BC上，∴-3/2=(1/2)(3/4)+b
∴b=-15/8
∴直线BC的方程为 y=(1/2)x-(15/8)

∵D是弦BC的中点，
∴OD⊥BC且平分BC,OD长为Ld
Ld^2=(3/4)^2+(-3/2)^2=45/16
∵OB长为Lb Lb=3 ∴Lb^2=9
BD长为Lbd ∴Lbd^2=9-45/16=49/16 ∴Lbd=7/4
∴弦BC的长Lbc=2*Lbd=7/2