如图,已知矩形ABCD,AB=根号3,BC=3在BC上取两点E,F(E在F的左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P
如图,已知矩形ABCD,AB=根号3,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F的左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H。(1...
如图,已知矩形ABCD,AB=根号3,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F的左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H。(1)求△PEF的边长。(2)若△PEF的边在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系?并证明你猜想的结论.(3)若△PEF的边在射线CB上移动(CF>1,如图②③所示,P、A不重合),(2)中的结论是否成立?若不成立,直接写出新结论。成立,请证明。
②③就是△PEF向左平移,②是E在B左边,F在BC上。③是EF都在CB延长线上,EP交AC延长线于G,PF交AC延长线于H 展开
②③就是△PEF向左平移,②是E在B左边,F在BC上。③是EF都在CB延长线上,EP交AC延长线于G,PF交AC延长线于H 展开
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(1) 过P作PK⊥BC
因为△PEF为等边三角形,所以∠PEF=60°
故PK=AB=√3
所以,PE=EF=PF=2
(2) 因为矩形ABCD中,AB=√3,BC=3,所以:
对角线AC=2√3
即,∠ACB=30°
而在等边△PEF中,∠PEF=60°
所以,∠CGE=180°-(30°+60°)=90°
即,PE⊥AC
所以,在Rt△PGH和Rt△EGC中:
∠GPH=∠CGE=60°
∠PGH=∠CGE=90°
所以:Rt△PGH∽Rt△EGC
故,PG/GH=EG/GC
(3)由(2)知,PE⊥AC,且∠PAC=30°
所以,∠APG=60°=∠HPG
所以,在Rt△PAG和Rt△PHG中:
∠APG=∠HPG
PG公共
∠PGA=∠PGH=90°
所以,Rt△PAG≌Rt△PHG
所以,PH=PA
而,又由(1)知,PK⊥BC
所以,四边形ABKP为矩形
所以,PH=PA=BK
因为△PEF为等边三角形,且PE=2
PK⊥BC,所以,K为EF中点
所以,EK=EF/2=2/2=1
所以,BE+EK=BK=PA=PH
则:
PH=BE+1
因为△PEF为等边三角形,所以∠PEF=60°
故PK=AB=√3
所以,PE=EF=PF=2
(2) 因为矩形ABCD中,AB=√3,BC=3,所以:
对角线AC=2√3
即,∠ACB=30°
而在等边△PEF中,∠PEF=60°
所以,∠CGE=180°-(30°+60°)=90°
即,PE⊥AC
所以,在Rt△PGH和Rt△EGC中:
∠GPH=∠CGE=60°
∠PGH=∠CGE=90°
所以:Rt△PGH∽Rt△EGC
故,PG/GH=EG/GC
(3)由(2)知,PE⊥AC,且∠PAC=30°
所以,∠APG=60°=∠HPG
所以,在Rt△PAG和Rt△PHG中:
∠APG=∠HPG
PG公共
∠PGA=∠PGH=90°
所以,Rt△PAG≌Rt△PHG
所以,PH=PA
而,又由(1)知,PK⊥BC
所以,四边形ABKP为矩形
所以,PH=PA=BK
因为△PEF为等边三角形,且PE=2
PK⊥BC,所以,K为EF中点
所以,EK=EF/2=2/2=1
所以,BE+EK=BK=PA=PH
则:
PH=BE+1
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