Question

有关圆锥曲线等图形的有关知识点的归纳？？？？

麻烦附上图形！只要具体的知识点······忠心感谢！！

Answer 1

圆锥曲线年级：高二 科目：数学 时间：12/12/200921:11:36 新 6046469圆锥曲线中重要的知识点总结一下，还有一些经典例题。Gif 解：同学你好，老师提供以下资料供你参考，希望对你有所帮助： 一、圆锥曲线的定义
　　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P||PF₁|+|PF₂|=2a, (2a>|F₁F₂|)}。
　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF₁|-|PF₂||=2a,(2a<|F₁F₂|)}。
　　3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

　　二、圆锥曲线的方程。
　　1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
　　2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
　　3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）

　　三、圆锥曲线的性质
　　1.椭圆：+=1（a>b>0）
　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
　　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
　　（3）焦点：(±c,0)
　　（4）离心率：e=∈(0,1)
　　（5）准线：x=±

　　2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
　　（1）范围：|x|≥a, y∈R
　　（2）顶点：(±a,0)
　　（3）焦点：(±c,0)
　　（4）离心率：e=∈(1,+∞)
　　（5）准线：x=±
　　（6）渐近线：y=±x

　　3.抛物线：y2=2px(p>0)
　　（1）范围：x≥0, y∈R
　　（2）顶点：（0,0）
　　（3）焦点：（,0）
　　（4）离心率：e=1
　　（5）准线：x=-

　　四、例题选讲：
　　例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
　　解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
　　注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。

　　例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。
　　解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。
　　（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。
　　注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。

　　例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。

　　解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
　　∵PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，
　　即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
　　∴ |PF1|=。
　　∵PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
　　∴ = c=ba=c, ∴ e==。
　　又解，∵PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。
　　由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,
　　由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。
　　例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。
　　分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。
　　解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin
　　|PF1|+|PF2|=2a=20，
　　4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，
　　即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，
　　|PF1|·|PF2|=
　　∴ SΔ=××=。
　　解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|，
　　由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，
　　由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，
　　4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，
　　144=100+=， =64(1-)=64×，
　　SΔ=6|yP|=6×=。

　　注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。

　　例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。

　　分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。
　　解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，
　　由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，
　　|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，
　　(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，
　　。
　　例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。
　　
　　解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10，
　　|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。
　　注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。
　　
　　证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇, A1A2中点为O，
　　|OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1|
　　由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|
　　|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|
　　∴ 两个圆相内切。
　　注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

　　例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。
　　证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
　　|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，
　　故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。