Question

九年级数学题

如图，AB为圆O的直径，D为半圆的中点，过A作AH⊥弦DC于H（1）求证：OH平分∠AHC（2）连AC与BC，若AC=6，BC=4，求OH

Answer 1

第一个问题：
令AB、CD相交于E。
∵D是弧ADB的中点，∴AD＝BD，又AO＝BO，∴DO⊥EO，又AH⊥HE，
∴∠OAH＝∠ODH［同是∠AED的余角］，∴A、O、H、D共圆，∴∠AHO＝∠ADO。

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，又AD＝BD、AO＝BO，∴∠ADO＝45°，∴∠AHO＝45°，
∴∠CHO＝∠AHE－∠AHO＝90°－45°＝45°。
∴∠AHO＝∠CHO＝45°，∴OH平分∠AHC。

第二个问题：
由勾股定理，有：AB＝√（AC^2＋BC^2）＝√（36＋16）＝√52＝2√13。
∵A、C、B、D共圆，又AD＝BD，∴∠ACE＝∠BCE，
∴由三角形内角平分线定理，有：AE/BE＝AC/BD，∴AE/（AB－AE）＝AC/BC，
∴AE/（2√13－AE）＝6/4＝3/2，∴AE/（2√13）＝3/（2＋3）＝3/5，∴AE＝（6/5）√13，
∴AO＋OE＝（6/5）√13，∴（1/2）AB＋OE＝（6/5）√13，
∴OE＝（6/5）√13－（1/2）×2√13＝（1/5）√13。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ACH＝∠BCH，∴∠ACH＝45°，而AH⊥CH，
∴AH＝（1/√2）AC＝6/√2。

过O作OF⊥EH交EH于F。
∵OF⊥EH、AH⊥EH，∴OF∥AH，∴△EOF∽△EAH，∴OF/AH＝OE/AE，
∴OF＝AH×OE/AE＝（6/√2）×（1/5）√13/［（6/5）√13］＝1/√2。
∵OF⊥FH，∠OHF＝45°，∴OH＝√2OF＝1。