Question

已知数列{an}满足a1=3,an=an-1 +1/n(n-1)(n≥2),那么此数列的通项公式为

不要按前5项然后推出通项，按照求通项的方法求出通项！详解！！！

Answer 1

根据an=an-1 +1/n(n-1)可知：
a1=3=(4-1)/1

a2=a1+1/(2*1)=3+1/2=7/2=4-1/2
a3=7/2+1/(3*2)=22/6=11/3=4-1/3
a4=11/3+(4*3)=45/12=15/4=4-1/4
所以，我们可以先假设an=(4n-1)/n=4-1/n，
那么an=an-1+1/n(n-1)=4-1/(n-1)+1/n(n-1)=4-(n-1)/n(n-1)=4-1/n
所以上述假设成立，此数列的同项公式为4-1/n

Answer 2

∵1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
又∵an=a(n-1) +1/[n(n-1)] (n≥2)
∴an=a(n-1)+1/(n-1)-1/n
即an+1/n=a(n-1)+1/(n-1)
∴[an+1/n]/[a(n-1)+1/(n-1)]=1
又∵当n=1时，an+1/n=3+1=4
∴数列{an+1/n}是都为4的常数列
即an+1/n=4
∴an=4-1/n (n≥1)

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Answer 3

原式等价于： an=an-1+1/(n-1)-1/n;
所以 an+1/n=an-1+1/(n-1);
设an+1/n=bn,n>=2;
所以 bn=bn-1;
因为b1=a1+1/1=4;
所以 bn=4,n>=1;
所以an=bn-1/n=4-1/n,n>=2;
因为 a1=4-1/1=3,所以an=4-1/n,n>=1;

Answer 4

首先我们可以通过an=an-1+1/n(n-1)变形得到an-an-1=1/(n-1)-1/n
再有这个式子得到

a2-a1=1-1/2
a3-a2=1/2-1/3
………………
an-an-1=1/(n-1)-1/n
将上面的n-1个式子累加就会得到an-a1=1-1/n
又因为a1=3
所以an=4-1/n

Answer 5

an-a(n-1)=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
a(n-1)-a(n-2)=1/(n-2)-1/(n-1)
...
a3-a2=1/2-1/3
以上各相加得到an-a2=1/2-1/n
a2=a1+1/(2*1)=3+1/2=7/2
an=a2+1/2-1/n=4-1/n