已知数列an的各项均为正数,其前n项和为sn,且满足√sn=(1+an)/2
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1.
√Sn=(1+an)/2 Sn=(1+an)²/4
n=1时，√S1=√a1=(1+a1)/2
a1=(1+a1)²/4
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=(1+an)²/4-[1+a(n-1)]²/4
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-a(n-1)²-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1
2.
Sn=(1+an)²/4=(1+2n-1)²/4=n²
1/Sn=1/n²
n=1时，1/S1=1<2，不等式成立。
n≥2时，
1/S1+1/S2+1/S3+...+1/Sn
=1/1²+1/2²+1/3²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n] 此步用到了放缩法，由于有n-1，因此需要分n=1、n≥2讨论。
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
综上，得1/S1+1/S2+...+1/Sn<2
√Sn=(1+an)/2 Sn=(1+an)²/4
n=1时，√S1=√a1=(1+a1)/2
a1=(1+a1)²/4
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=(1+an)²/4-[1+a(n-1)]²/4
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-a(n-1)²-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1
2.
Sn=(1+an)²/4=(1+2n-1)²/4=n²
1/Sn=1/n²
n=1时，1/S1=1<2，不等式成立。
n≥2时，
1/S1+1/S2+1/S3+...+1/Sn
=1/1²+1/2²+1/3²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n] 此步用到了放缩法，由于有n-1，因此需要分n=1、n≥2讨论。
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
综上，得1/S1+1/S2+...+1/Sn<2
更多追问追答
追问
分n=1、n≥2讨论 ， 即归纳假设法对吧
追答
不是的。
数学归纳法是先令n=1(或某个有限正整数)，再假设n=k时成立，推出n=k+1时也成立，是递推的思想。
本题用的是分类讨论，不是递推。
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