Question

关于导数的问题

(1)要造一个容积为v的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？(2)从直径为d的圆形树干切出横截面积为矩形的梁，此矩形的底等于b，高等于h，若梁的强度与bh^2成正比，问梁的尺寸为多少时，其强度最大？要求：要有详细的解题过程

Answer 1

1、导数的定义
设函数y=f(x)在点衡胡x=x0及其附近有定义，当自变量x在x0处有改变量△x（△x可正可负），则函数y相应地有改变量△y=f(x0＋△x)－f(x0)，这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0＋△x之间的平均变化率.
如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作f′(x0)或，即
函数f(x)在点x0处的导数就是函数平均变化率当自变量的改变量趋向于零时咐戚拦的极限．如果极限不存在，我们就说函数f(x)在点x0处不可导.
2、求导数的方法
由导数定义，我们可以得到求函数f(x)在点x0处的导数的方法：
（1）求函数的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数
3、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率f′(x0).
相应地，切线方程为y－y0=
f′(x0)(x－x0).
4、几种常见函数的导数
函数y=C（C为常数）的导数
C′=0.
函数y=xn（n∈Q）的导数
(xn)′=nxn－1
函数y=sinx的导数
(sinx)′=cosx
函数y=cosx的导数
(cosx)′=－sinx
5、函数四则运算求导法则
和的导数
(u＋v)′=u′＋v′
差的导数
(u－v)′=
u′－v′
积的导数
(u·v)′=u′v＋uv′
商的导数
.
6、复合函数的求导法则
一般地，复合函数y=f[φ(x)]对自变量x的导数y′x，等于已知函数对中间变量u=φ(x)的导数y′u，乘以中间变量u对自变量x的导数u′x，即y′x=y′u·u′x.
7、对数、指数仔棚函数的导数
（1）对数函数的导数
①；
②.公式输入不出来
其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.
（2）指数函数的导数
①(ex)′=ex
②(ax)′=axlna
其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式.
导数又叫微商，是因变量的微分和自变量微分之商；给导数取积分就得到原函数（其实是原函数与一个常数之和）。
把公式记住了就好做了

Answer 2

第一题：v=πr平方乘以h了。s=2πrh。化简得s=2v/r。第二题樱毁：d的平方=b的平方+h的平方。强度=kbh^2化简得强度=kb(d^2-b^2)对其求导哗春，解得乱颂耐d=根号3倍的b

Answer 3

（1）v=pi*r*r*h, h=v/(pi*r*r)S=2pi*r*h + 2*pi*r*r=2v/r+2pi*r*r对S求培备凯导，S‘=-2v/r^2 + 4*pi&r当S‘滚拍=0，求出r。然后把几个r分别代入，比较哪个相应的S最小配唤。然后再求出h