Question

求sin5xdx的不定积分

写出过程

Answer 1

我们可以利用三倍角公式将sin5x转化为sin(3x+2x)，然后利用和差公式将其拆分成两个三角函数的乘积，即：

sin5x = sin(3x+2x) = sin3x*cos2x + cos3x*sin2x

然后，我们可以利用sin3x和cos3x的公式将其继续拆分为三角函数的乘积，即：

sin5x = sin3x*cos2x + cos3x*sin2x
= (3sinx - 4sin^3x)*cos^2x + (4cos^3x - 3cosx)*sinx*cosx

现在，我们可以将每个三角函数的幂次降低一次，即：

sin5x = (3sinx - 4sin^3x)*cos^2x + (4cos^3x - 3cosx)*sinx*cosx
= 3sinx*cos^2x - 4sin^3x*cos^2x + 4cos^3x*sinx*cosx - 3cosx*sinx*cos^2x

然后，我们可以将每个三角函数的幂次降低一次，再次利用和差公式，即：

sin5x = 3sinx*cos^2x - 4sin^3x*cos^2x + 4cos^3x*sinx*cosx - 3cosx*sinx*cos^2x
= 3sinx*cos^2x - 4sinx*cos^4x + 4cosx*sinx*cos^3x - 3cos^2x*sin^2x

现在，我们可以将每个三角函数的幂次降低一次，再次利用和差公式，即：

sin5x = 3sinx*cos^2x - 4sinx*cos^4x + 4cosx*sinx*cos^3x - 3cos^2x*sin^2x
= 3sinx*cos^2x - 4sinx*cos^4x + 2sin2x*cos^3x - 3(1-sin^2x)*sin^2x
= 3sinx*cos^2x - 4sinx*cos^4x + 2sin2x*cos^3x - 3sin^2x + 3sin^4x

现在，我们可以将sin2x和cos^4x分别用sinx和cos^2x表示，即：

sin2x = 2sinx*cosx
cos^4x = (cos^2x)^2 = (1-sin^2x)^2 = 1 - 2sin^2x + sin^4x

将其代入上式，得到：

sin5x = 3sinx*cos^2x - 4sinx*cos^4x + 2sin2x*cos^3x - 3sin^2x + 3sin^4x
= 3sinx*cos^2x - 4sinx*(1 - 2sin^2x + sin^4x) + 2(2sinx*cosx)*cos^3x - 3sin^2x + 3sin^4x
= 6sinx*cos^2x - 4sinx + 8sinx*cos^4x - 3sin^2x + 3sin^4x

现在，我们可以将其拆分成多个三角函数的积的和的形式，即：

sin5x = 6sinx*cos^2x - 4sinx + 8sinx*cos^4x - 3sin^2x + 3sin^4x
= 2sinx(3cos^2x - 2) + 2sinx(4cos^4x - 2cos^2x + 1) - 3sin^2x + 3sin^4x

然后，我们可以分别对每个三角函数的积求不定积分，即：

∫2sinx(3cos^2x - 2)dx = -2cosx(3cos^2x - 4) + C1

∫2sinx(4cos^4x - 2cos^2x + 1)dx = 2cos^5x - 2cos^3x + 2cosx + C2

Answer 2

∫sin5xdx=-1/5cos5x+C