Question

高一函数题，求解，急！！！

证明 f（x）=x+1／x 在区间（0,1）上为减函数
求各位大神帮忙啊

Answer 1

设0<a<b<1,则a-b<0,1-1/ab<0
f(a)-f(b) = (a+1/a)-(b+1/b)
= (a-b)+(1/a-1/b)
= (a-b)-(a-b)/ab
=(a-b)(1-1/ab)>0
所以f(x)=x+1/x在(0,1)上为减函数

Answer 2

导数一步到位
f ‘(x)=1-1/x²<0
如果没有学过导数再追问，

追问

没学过导数。。。麻烦了。。。

Answer 3

对y求导
y'=1-(1/x)^2
令y'<0,解得-1<x<0或0<x<1,此时函数单调递减；

令y'>0,解得x<-1或x>1, 此时函数单调递增；

即：函数的单调减区间为（-1，0）并上（0，1）；

追问

没学过导数。。。麻烦了。。。

追答

那就是用做差、做商法

Answer 4

设0<X1<X2<1,则f(X1)-f(X2)=X1-X2+1/X1-1/X2=(X1X2-1)(X1-X2)/X1X2,因为范围在(0,1),所以上面(X1X2-1)小于0,又因为(X1-X2)小于0,所以上面整体大于0,而下面显然大于0显然大于0,那么整个式子大于0!,所以递减