Question

已知定义在r上的函数y=f(x)满足条件f(x+3/2)=-f(x),且函数y=f（x-3/2）为奇函数

1：函数f（x）是周期函数
2：函数f（x）的图像关于点（-3/4，0）对称
3：函数f（x）为r上的偶函数
4：函数f（x）为r上的单调函数

Answer 1

只有1正确
因为y=f(x-3/2)为奇函数，所以f(x-3/2)+f(-x-3/2)=0
用x+3/2代换x 得f(x)+f(-x-3)=0…………………………a
因为f(x+3/2)=-f(x) 所以f(x+3/2)=f(-x-3)…………………………b
用x-3/2代换x 得f(x)=f(-x-3/2)=-f(x-3/2)=-f(x+3/2) 所以f(x-3/2)=f(x+3/2) 所以f(x)=f(x+3)
所以f(x)是周期函数 1正确
由b式得f(x+3/2)=f(-x-3) 令x+3/2=-x-3 得x=-9/4
用x-9/4代换x 得f(x-9/4+3/2)=f[-(x-9/4)-3] 即f(x-4/3)=f(-x-4/3)
所以y=f(x)关于直线x=-4/3对称 2错误
由a式得f(x)=-f(-x-3) 因为f(x)是以3为周期的函数 所以f(-x-3)=f(-x) 所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数 3错误
因为f(x)是周期函数 所以f(x)在R上不单调 4错误

Answer 2

分析，
f(x+3/2)=-f(x)
利用x-3/4代换x
∴f(x+3/4)=-f(x-3/4)
又，f(x-3/4)是奇函数，
∴-f(x-3/4)=f(-x-3/4),故有函数的图像关于点(-3/4,0)对称
因此，f(x+3/4)=f(-x-3/4)
利用x-3/4代换x
∴f(x)=f(-x)
因此，f(x)就是偶函数。
又有f(x+3/2)=-f(x),则有f(x+3/2+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)
即有f(x)=f(x+3),故函数是周期函数,周期T=3
因为函数f(x)在R上是奇函数,则有在R上也是单调函数.
故1,2,3,4都是正确的.

Answer 3

f（x-3/4）=-f(-x＋3/4)是表示f(x)是奇函数，而不是f(x-3/4)是奇函数
f(x-3/4)是奇函数，表示把它的x换成-x后，值相反。∴就是f（x-3/4）=-f(-x-3/4)
如果说f(x)是奇函数的话，就可以得到f（x-3/4）=-f(-x+3/4)