Question

在数列{an}中，a1=1,an+1=an(1+1/n)+n+1/2n

(1)设bn=an/n,求数列{bn}的通项公式（2）求数列{an}前n项和sn

Answer 1

①因为an+1=（1+1/n)an+(n+1)/2n
即an+1=(1+n)/n an+(n+1)/2n
所以(1/n+1)an+1=(1/n) an+1/2n
因为bn=an/n
所以b(n+1)=bn+1/2n
则b2=b1+1/2
b3=b2+1/4
...
bn=b(n-1)+1/2n
将上述n个式子累加，得：bn=b1+1/2+1/4+...1/2n
因为bn=an/n，a1=1，则b1=1
而1/2+1/4+...1/2n=（1/2(1-(1/2)∧n））/1-(1-1/2)=1-（1/2)∧n
所以bn=2-(1/2)∧n
②因为bn=2-(1/2)∧n且bn=an/n
则an=2n-n(1/2)∧n
令cn=2n,其前n项和为(n²+n)/2
令dn=n(1/2)∧n,设其前n项和为Tn
有分析整理可得：dn=(2n+2)(1/2)∧n-(2(n+1)+2)(1/2)∧(n+1)
令pn=(2n+2)(1/2)∧n
则dn=pn-p(n+1)
所以Tn=d1+d2+...dn=p1-p2+p2-p3+...pn-p(n+1)=p1-p(n+1)
=2-(2n+4)(1/2)∧(n+1)
则Sn=(n²+2n)/2-Tn=(n²+2n)/2-2+(2n+4)(1/2)(n+1)

Answer 2

设数列{an}前n项和为Sn,满足an=3/4Sn+1/2(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn;(3)若不等式Tn+a/n·2^2n+1-2/9＞0对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围。