Question

已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在x>0时最大值是5.则F(x)在(负无穷，0)上最小值是多少 ？

不需要整个题的过程，我有答案，想问的就是就是“f(x),g(x)均为奇函数,”这个条件有用吗，还有答案上说af(x)+bg(x)为奇函数，为什么？这大概是个怎样的函数图像呢？我在先等候，谢谢！！

Answer 1

f(-x)=-f(x)
g(-x)=-g(x)
设H(x)=af(x)+bg(x)
H(-x)=af(-x)+bg(-x)
=-af(x)-bg(x)
=-(af(x)+bg(x))
=-H(x)
∴H(x)=af(x)+bg(x)是奇函数。
F(x)=af(x)+bg(x)+2
=H(x)+2
F(x)max=H(x)max+2=5 (x>0)
H(x)max=3
H(-x)min=-H(x)max=-3
F(-x)min=H(-x)min+2=-3+2=-1

Answer 2

f(x),g(x)均为奇函数这个条件有用，就是得出af(x)+bg(x)为奇函数

F(x)=af(x)+bg(x)+2在x>0时最大值是5.则af(x)+bg(x)最大值是3
所以在x<0时af(x)+bg(x)最小值是-3，F(x)=af(x)+bg(x)+2在x<0时最小值是-3+2=-1.