Question

四棱锥P-abcd中,底面ABCD是边长为8的菱形,角BAD=60°，若PA=PD=5，平面PAD垂

（1）求其体积（2）求证AD垂直PB（3）若E为BC中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF垂直于面ABCD，证明你的结论

Answer 1

1.连接BD，并过P作PG⊥AD于G，连接GB
∵PD=PA，∴在等腰△PAD中，PG为底边AD的高，∴PG也是AD的中线，由AD=8，可得AG=AD/2=4，在Rt△PAG中，由勾股定理，以及已知的PA=5，AG=4，可求出PG=3

由于ABCD是菱形，有AD=AB，且∵∠BAD=60°，∴△BAD为等边三角形，而G为AD边中点，故BG⊥AD
于是，BG为菱形ABCD中，边AD上的高
而等边三角形ABD中，边长为8，容易求出其高BG=4√3
于是有：S菱形ABCD=AD*BG=32√3

而面PAD⊥面ABCD，AD为两面交线，且面PAD上的直线PG⊥AD于G，∴PG⊥面ABCD，PG为四棱锥P-ABCD中，底面ABCD上的高
所以，V四棱锥P-ABCD=(S菱形ABCD)*PG /3 =32√3

2.前方已经得出：PG⊥AD，BG⊥AD，PG与BG为面PBG中的相交直线，故AD⊥面PBG，而PB∈面PBG，∴有AD⊥PB

3.可找到这样的F点满足题意，而这个F点恰为PC中点，以下证明：
∵PG⊥面ABCD，PG∈面PBG，∴面PBG⊥面ABCD
而题目要求面DEF⊥面ABCD，故需要面DEF‖面PBG
要想使两面平行，需找出两对儿分别属于两面的相交直线，使它们平行即可
很容易证明△CDB为等边三角形，而E为BC中点，∴DE⊥CB
而AD‖CB，∴DE⊥AD
前方已证BG⊥AD
∴有DE‖BG
这样，已经找到了DE，BG这两条分属于面DEF与PBG上的平行线
而另外一对儿平行线，要求它们要分别与DE，BG相交，且也要平行
面PBG中选取PB的话，无疑，由于F在PC上，一定要使EF‖PB即可
而EF‖PB的话，根据比例线段的性质，可得出F为PC中点的结论