Question

已知，如图，三角形ABC内接于圆，AD垂直BC于D，弦BH垂直AC于E，交AD于E求证，EF=EH

Answer 1

思路：如要证明FE=EH,考虑到AC⊥FH,那么AE就是FH的垂直平分线。那么只要证明△AFH是等腰三角形即可。而等腰三角形的两个底角相等。这里∠AHF=∠ACB(圆内同弦AB所对的圆周角相等）；在RT△ACD与RT△AEF相似（同一个顶角），所以∠AFE=∠ACB.如此可证△AFH是等腰三角形。

按照思路回推即可思路：如要证明FE=EH,考虑到AC⊥FH,那么AE就是FH的垂直平分线。那么只要证明△AFH是等腰三角形即可。而等腰三角形的两个底角相等。这里∠AHF=∠ACB(圆内同弦AB所对的圆周角相等）；在RT△ACD与RT△AEF相似（同一个顶角），所以∠AFE=∠ACB.如此可证△AFH是等腰三角形。

按照思路回推即可

Answer 2

连接AH
AD⊥BC,BH⊥AC
∴△AFE与△CAD为直角三角形
∴∠FAE+∠AFE=90,∠DAC+∠C=90,∠FAE与∠DAC为同角,相等
∴∠AFE=∠C
又∠AHF与∠C同为弧AB相对圆周角,∴∠AHF=∠C=∠AFE
AE=AE
∴RT△AHE≌RT△AFE
∴FE=EH