Question

高中必修一数学题

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a大于0）
（1）若f(-1)=0且对于任意实数x均有f(x)≥0，求函数表达式
（2）在（1）的条件下，当x属于【-2，2】时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
2.定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(x)是区间（0，+无穷）上的增函数
（1）求f(1),f(-1)的值
（2）求证f(-x)=f(x)
(3) 解不等式f(2)+f(x-1／2）≤0

Answer 1

1. （1）f(-1)=a-b=0
        f(x)大于等于0,即方程有两个相同的实根，所以b^2-4a=0
        联立两个方程，解得a=1 b=2 即f(x)=x^2+2x+1
   (2)g(x)=f(x)-kx=x^2+(2-k)x+1
       当x属于[-2,2]时,g(x)是单调函数,g(x)对称轴-b/2a<-2或者-b/2a>2
       即-(2-k)/2<=-2或者-(2-k)/2>=2，解得k<=-2或k>=6

2. （1）f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)因此f(1)=0
   f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)因此f(-1)=0
   (2）f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
   (3)
   f(x)是区间(0,正无穷)上的递增函数,又根据第（2）步知道f(x)为偶函数，根据第（1）步知道f(1)=0，因此f(x)在【-1,0)和(0,1】上是0或负值
   因此f(2)+f(x-1/2)=f(2*(x-1/2))=f(2x-1)<=0
   等价于0<2x-1<=1,或者-1<=2x-1<0
   因此不等式的解为
   0<=x<=1,且x不等于1/2